زوايا المثلثات المشهورة، أي مثلث يحتوي على ثلاث زوايا ، حيث يكون مجموع زوايا المثلثات الشهيرة يساوي 180 درجة بغض النظر عن نوع المثلث ، ويصنف المثلث حسب قياس زواياه الداخلية ، ويوجد ثلاثة أنواع من المثلثات ، ومن هذه البيانات سنقوم بتنويرك من خلال الأسطر التالية على الموقع ، كما سيتم مناقشة الإشارة إلى مفهوم المثلث وبيان إجابة السؤال المطروح. نظرية فيثاغورس وأهميتها وكيفية إثباتها.
تعريف المثلث
يُعرَّف المثلث بأنه شكل مغلق ثنائي الأبعاد وثلاثي الجوانب لأنه يتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة تشكل الأضلاع المتقاطعة في النهاية وتشكل زوايا ورؤوسًا. تتوافق الزاوية الداخلية وكذلك أطول ضلع في المثلث مع أكبر زاوية داخلية ، وتشمل المصطلحات المتعلقة بالمثلث ما يلي:
- الرأس: هذه زاوية المثلث ، لأن لكل مثلث ثلاثة رءوس.
- القاعدة: أي جانب من المثلث يشكل قاعدة.
- وسيط المثلث: وهو خط يمتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل ، لأن المثلث به ثلاثة منها وتتقاطع عند نقطة تسمى النقطة المركزية للمثلث.
- الارتفاع: هذا هو العمود الذي يمتد من القاعدة إلى أعلى المثلث المقابل. هناك ثلاثة ارتفاعات مختلفة وتتقاطع عند نقطة تسمى منطقة الارتفاع أو مركز العمود المستقيم.
زوايا المثلثات المشهورة
المثلث شكل ثلاثي الجوانب ويتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة. يعتمد نوع المثلث على حجم الزاوية وطول ضلعها. وهي مقسمة حسب الزوايا التي لها والتي سيتم شرحها على النحو التالي:
- المثلث القائم الزاوية: هذا المثلث له زاوية 90 درجة وزاويتان حادتان.
- مثلث منفرج الزاوية: يتكون هذا المثلث من زاويتين حادتين وزاوية منفرجة قياسها أكثر من 90 درجة.
- المثلث الحاد: يتكون هذا المثلث من ثلاث زوايا حادة ، والزاوية الحادة هي التي يكون قياسها أقل من 90 درجة.
أنواع المثلثات وخصائصها
تقسيم المثلثات حسب طول الضلع إلى ثلاثة أنواع ، حيث يمكن تمييز الأضلاع المتساوية في الطول بوضع شرطة مائلة عليها ، وسيوضح ما يلي هذه الأنواع:
- المثلث المتدرج: مثلث ليس له جوانب متساوية الطول أو زوايا متساوية في القياس.
- المثلث المتساوي الأضلاع: هو مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية الطول ، بالإضافة إلى ثلاث زوايا متساوية ، كل منها قياسه 60 درجة.
- مثلث متساوي الساقين: مثلث له ضلعان متساويان في الطول وزاويتان متساويتان في القياس ، وهما زاويتا القاعدة.
خصائص المثلثات
المثلث هو مضلع بثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس. يمكن تلخيص أهم الخصائص العامة للمثلث على النحو التالي:
- مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة.
- مجموع أطوال ضلعي المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- الفرق بين طولي ضلعي المثلث أقل من طول الضلع الثالث.
- الضلع المقابل للزاوية الأكبر في المثلث هو الضلع الأطول.
- الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين وتُعرف باسم خاصية الزاوية الخارجية.
- تكون المثلثات متشابهة إذا كانت الزوايا المتقابلة للمثلثين متطابقة وأطوال أضلاعها متناسبة.
- يمكن تحديد صيغة مساحة المثلث ومحيط المثلث على النحو التالي:
- مساحة المثلث = ½ x القاعدة x الارتفاع.
- محيط المثلث = مجموع الأضلاع الثلاثة.
- يسمى المثلث الذي تقيس فيه جميع زواياه أقل من 90 درجة بالمثلث الحاد.
- يسمى المثلث الذي تزيد زاويته عن 90 درجة بمثلث منفرج.
راجع أيضًا: الوظيفة هي علاقة تحدد مخرجات فردية لمدخل واحد
طريقة حساب ارتفاع المثلث
يتم حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحته وطول قاعدته معروفة بقانون مساحة المثلث ، لجميع أنواع المثلثات ، عن طريق إعادة ترتيب قانون مساحة المثلث = (1/2 x القاعدة x الارتفاع) وينتج عن ذلك قانون ارتفاع المثلث = (2 × مساحة) / القاعدة ، كما يمكن تطبيقه من خلال المثال. إذا كان هناك مثلث مساحته 20 سم 2 وطول قاعدته 4 سم ، فيمكن حسابه على النحو التالي:
- معادلة ارتفاع المثلث = (2 × مساحة) / القاعدة
- استبدل القيم الواردة في الصيغة: الارتفاع = (2 × 20) / 4 = 40/4
- الارتفاع = 10 سم.
شاهد أيضًا: كم عدد المثلثات الموجودة في الصورة
نظرية فيثاغورس
تُعرف نظرية فيثاغورس بأنها واحدة من أقدم النظريات المعروفة ، حيث سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس. وهي من أشهر النظريات في الرياضيات ، حيث تم استخدامها في العديد من المجالات العلمية والعملية ، مثل حساب زوايا المثلثات الشهيرة ، وتم استخدامها في علوم البناء والملاحة والهندسة والرياضيات. فيما يلي شرح لقانون نظرية فيثاغورس وأهميتها:
قانون نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على نظرية: مجموع مربعات أطوال ضلعي القائمة ، وهما الضلعان الأقصر للمثلث الأيمن ، يساوي مربع طول الوتر ، وهو يعتبر أطول ضلع في المثلث ، ولكن في الرموز تتم كتابة نظرية فيثاغورس على النحو التالي (أ² + ب² = ج²) حيث (أ ، ب) هما ضلعي المثلث القائم أب ج ، بينما (ج) هو وتر المثلث المثلث الأيمن AB C ، نظرًا لأنه يعتبر أطول ضلع فيه ، وتجدر الإشارة إلى أن معكوس النظرية صحيح ، حيث أن المثلث الذي تنطبق عليه نظرية فيثاغورس هو: A² + B² = C² ، فهو بالضرورة يمين مثلث ، وهناك العديد من تطبيقات نظرية فيثاغورس على النحو التالي:[7]
- وضح ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا.
- أوجد قطر مربع أو مستطيل.
- أوجد طول أي ضلع من أضلاع المثلث إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين للمثلث القائم الزاوية معروفة.
أنظر أيضا: أنواع المثلثات حسب الأضلاع والزوايا
أهمية نظرية فيثاغورس
تعد نظرية فيثاغورس واحدة من النظريات المهمة في الرياضيات لأن لها استخدامات عديدة. أدناه ، سيتم تحديد أهمية النظرية على النحو التالي:[8]
- توضيح شكل المثلث ونوعه. عندما يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين ، فإنه يكون مثلثًا قائم الزاوية. عندما يكون مربع الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين ، يكون المثلث منفرجًا ، وعندما يكون مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين ، يسمى المثلث حاد الزاوية.
- تساعد النظرية في حساب أطوال الأضلاع المخفية ، ليس فقط في المثلثات ولكن أيضًا في المربعات والمستطيلات.
- تساعد هذه النظرية البناة في الحفاظ على قياسات الزاوية الصحيحة في تشييد المنازل والمباني.
عكس نظرية مثلثات فيثاغورس
من المعروف أن نظرية فيثاغورس سميت على اسم العالم فيثاغورس ، عالم في اليونان القديمة ، حيث أوضح أن عكس نظرية فيثاغورس هو إذا كان هناك مربع على جانب واحد في مثلث يساوي مجموع مربعات ضلعين آخرين من المثلث ، إذن الزاوية المقابلة للضلع الطويل هي الزاوية القائمة ، أي تساوي 90 درجة.[7]
انظر أيضًا: مثلث قياس زاويته 100 درجة و 45 درجة و 35 درجة يصنف على أنه ،
أمثلة على مثلثات فيثاغورس المشهورةأمثلة على استخدامات النظرية
هناك بعض الأمثلة التي توضح كيفية حساب طول الضلع أو الوتر في نظرية فيثاغورس ، بالإضافة إلى التحقق مما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا. هذه بعض الأمثلة :[7][9]
- المثال الأول: مثلث قائم الزاوية طول ضلعه الأول ١٢ سم والضلع الثاني ٥ سم ، فما طول الوتر؟
- استبدل قيمة أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس على النحو التالي: (أ² + ب² = ج²).
- ويترتب على ذلك: (12) ² + (5) ² = ج² ، حيث c² = 169.
- بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين ، نحصل على c = 13 ، ومن ثم فإن طول الوتر = 13 cm.
- المثال الثاني: تحديد قطر مربع مساحته 1 سم ، وبيان طول الوتر؟
- ينقسم قطر المربع إلى مثلثين متطابقين.
- وبالتالي ، فإن أطوال أضلاع المربع = أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية تساوي 1 سم.
- بالتعويض عن أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس ، نحصل على ما يلي: a² + b² = c² ، و c² = 2.
- بحساب الجذر التربيعي للطرفين ، نحصل على c = 1.414.
- طول الوتر = طول قطر المربع = 1.414 سم.
شاهد أيضًا: يعتبر المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة
حساب زوايا المثلثات المشهورة
إذا كانت قيمة زاويتين في مثلث معروفة وكان قياس الزاوية الثالثة غير معروف ، فيمكن حساب قياسها بطرح مجموع الزاويتين من 180 درجة ، مثل مجموع قياس الزوايا الداخلية لـ المثلث = 180 ، والطرق التالية تساعد في إيجاد قيمة زوايا المثلث بأنواعه:[10]
- حساب زوايا المثلث القائم: يمكن معرفة المثلث القائم عندما يكون قياس إحدى زواياه يساوي 90 درجة ، لأن المعادلة يمكن تفسيرها على النحو التالي:
- س + ص + 90 = 180.
- س + ص = 90 ، حيث (س وص) زاويتا مثلث قائم الزاوية.
- حساب زوايا المثلث متساوي الساقين: حصل المثلث متساوي الساقين على هذا الاسم لأن زوايا القاعدة لها قياسات متساوية ، لذلك يمكن تمثيل مجموع زوايا هذا المثلث على النحو التالي:
- 2 xx + y = 180 ، حيث x هو قياس زاويتين القاعدة و y قياس زاوية الرأس.
- حساب زوايا مثلث متساوي الأضلاع: يمكن تفسير المثلث المتساوي الأضلاع على أنه مثلث من الأضلاع والزوايا متساوية الأضلاع ، حيث أن قياس كل زاوية من زواياه يساوي دائمًا 60 درجة ، وبالتالي:
- s + s + s = 180. ومن ثم 3 xs = 180.
- اقسم كلا الطرفين على الرقم 3.
- اتضح أن قيمة x = 60 درجة.
كيف يتم قياس زوايا المثلثات المشهورة
يمكن قياس الزوايا …